数形如何巧结合

江苏南京晓庄学院 章秋明

论文摘要：数形结合是一补重要的教学思想方法。在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图开的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难来易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。通常是将数量关系转化为线段图，这是基本的、自然的手段。对于某些题，如线段图不能清晰地显示其数量关系，则可以通过对线段图的分析、改造、设计、构造出能清晰显示其数量关系的几何图形。本文通过两个具体的例子揭示了分析、改造的方法。

论文关键词：数形结合、线段图、几何图形

论文正文：数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过理想化抽象的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是其一。其二，或者把关于几何图形的问题，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征。

在小学数学中，用得最多的是前者，而且在应用题的分析求解中，通常是将数量关系转化成线段图。然而，这并不是唯一的方式。实际上，在不同的问题中，可将数量关系转化为不同的图形。其中有一个原则：能把数量关系最清晰、最直接地显示出来的图形，是我们最佳的选择。

例1 一色糖果平均分给三个小朋友，如果每人吃掉4块，那么三人剩下的糖块数之和恰好是原糖果数的1/3，原糖果有多少块？

分析与解：如用线段图表示数量关系，则如下图所示，其中带斜线的线段表示每人吃掉的糖块数：

由于题目给出的是三人剩下的糖块数之和，与原糖果数的关系，在以上线段图中，三人剩下的糖块数是三条未带斜线且各自分离的线段，较难发现三条带斜线的线段长的和与整条线段长之间的数量关系，因此这不是最佳的选择图形。

我们希望选择的图形能够一目了然地看出“三人剩下的糖块数之和恰好是糖果数的1/3”，就是说，能把“三人剩下的糖块数之和”在图形中连成一片，并且能直载了当地看出它与原糖果数之间的关系。为此，我们画一个大圆，并且大圆的面积表示原糖块数。把大圆三等分，每份即表示每位小朋友分得的糖块数。在大圆中再画一个小同心圆（小圆半径约等于大圆半径的０.6），用小同心圆的面积表示三人剩下的糖块数之和，于是圆环（阴影部分）的面积则表示三人吃掉的糖块数之和。如右图所示：

这样一来，数量关系完全明朗清晰了。

答：原有糖果18块。

例2 大球、小球共100个，取出大球的75%，取出小球的一半，还剩30个球，大球、小球各有几个？

分析与解：如用两条独立的线段长分别表示大球、小球的个数，用带斜线的长表示取出的球数，则可画出下图：

由于题目给出的条件是两种球分别取出后剩下30个，这是一个和数，反映在线段图中应该是以上两条线段中不带斜线的两部分线段长之和。于是想到把以上两条独立的线段拼接在一起的办法，并让不带斜线的线段相邻。

如果再想到也把表示小球的线段四等分，那么便容易解出原题。

能不能用不拼接、再等分的方法解答本题？可以。画以下图形：

其中，大正方形ABCD的面积表示大、小球的总个数，小正方形A′B′C′D′的面积表示小球的个数，于是，大、小正方形的面积差则表示大球的个数。另外，我们用画有横线阴影部分的面积表示取出的个数，用画有竖线阴影部分的面积表示取出小球的个数。

显然，在解答本题时如把正方形换成圆或矩形都是可以的。这种数形结合的解题方法多么简便，几乎可以达到“图形一画出，解答自然出”的效果实在是巧妙。

从以上解题过程可以看出，线段图仍是揭示小学数学应用题中数量关系的基本的、自然的手段。对于某些题，如线段图不能清晰地显示其数量关系，则可以通过对线段图的分析与改造，设计构造出能清晰地显示其数量关系的其他图形，使解题过程变得更简洁、更方便。