应用题“三维结构”的优化处理

应用题的数学结构、学生的知识结构及学生的认知结构简称“三维结构”，它们是三个不同的概念。

应用题结构分为情节结构和数学结构两个部分，前者是指不影响列式的叙述方式和关键词语的运用，后者是影响列式的数量关系，二者交织在一起，直接影响应用题的难度和解题方法的运用。就数学结构而言，每一道应用题都由条件和问题两个部分组成。条件与条件之间、条件与问题之间错综复杂的关系引起了结构的不断变化。如简单应用题数量关系的一次或多次扩展就构成了复合应用题。

可知复合应用题由几个相互联系的简单应用题组合而成。但在组成一道复合应用题的几道简单应用题中有一道是起“复盖性主题作用”的。如统编教材五册Ｐ４０例１：食堂原有大米50多少千克，又买来４袋大米，每袋１５０千克。食堂共有大米多少千克？这题的“复盖性主题”是：“食堂原有大米５０千克，又买来６００千克。食堂共有大米多少千克？而组成这道复合应用题的另一道简单应用题是：“食堂买４袋大米，每袋１５０千克，买大米共多少千克？这实际上是买来６００千克大米的间接表达。解题时，学生若能找出这一“复盖性主题”且又能将主题中的一个已知条件用间接方式表达，则此题就能迎刃而解。因此，掌握应用题结构的变化规律是教学中的重点。

知识结构是指学生中学习过程中掌握的基本概念、基本原理和基本方法。就应用题而言就是与应用题用关的概念、原理、性质、定律、法则、公式等。如简单应用题，学生已掌握的四则运算的意义及从“运算意义”迁移到简单应用题的解法，构成简单应用题的知识结构。又如复合应用题，学生分析应用题中已知数与已知数、已知数与未知数之间的内在联系和必然关系，掌握的加减乘除四种基本数量关系，能顺利地解答各种简单应用题的技巧等，就构成学习复合应用题的知识结构。

认知结构是指知识系统中的内容在学生头脑中形成的逻辑结构模式，即在学习知识过程中，经过感知、表象、记忆、领悟、推理、判断等一系列智力活动所产生的认知模式的心理结构。皮亚杰在他的认识论中指出：“认知结构涉及模式、同化、顺应、平衡四个基本概念。”学生学习新知时，先是试图用原有模式去同化，如果成功，就得到暂时平衡，如果不能用原有模式进行同化，就必须进行调整组合，作出顺应，达到新的平衡，实现由知识结构转化为认知结构的过程。随着不断地学习，认知结构也就不断地得到相应的发展。

在学习过程中，“三维结构”是以相辅相成、相互促进的方式进行活动的。

教学时，教师先要让学生建立良好的认知结构和知识结构，再凭借原有的认知结构，最大限度利用学生的知识结构，通过探求应用题的数学结构来提高分析解答问题的能力。

１、抓好基础知识教学，构建良好的知识结构。就数学知识结构而言，原有知识是新知识的基础，而新知识是旧知识的迁移、深化和扩展。就应用题的知识结构而言，简单应用题是复合应用题的基础，而复合应用题是简单应用题的组合。

因此，简单应用题的结构模式是形成复合应用题认知结构的基本模式，必须让学生充分理解和掌握。

小学数学教材上讲的简单应用题包括求和、求比一个数多几的数、求剩余、求比一个数少几的数、求差、求相同加数的和、求一个数的几倍、求每份数、求一个数里包含几个另一个数、求一个数是另一个数的几倍，求１倍数等１１种，按照学生的认知心理从整体和部分的关系来分析，这１１种简单应用题可分为两大类：当部分量呈不等量时，就是加法和减法；当部分量呈等量时，就是乘法和除法。它们的基本结构模式可概括为６个： (1)A+B=C (4)A×B=C (2)C-A=B (5)C÷A=B (3)C-B=A (6)C÷B=A低年级学生由于年龄孝知识面窄、认知能力较差，掌握这些结构是有一定困难的，他们追求的是解题方法和计算结果。对于为什么要用这些方法，往往是根据题目中的问题和某些个别因素来决定，而不是从整体结构中去全面分析其数量关系，据此，在简单应用题教学中，对于每种简单应用题的结构特征以条件与问题间的对应关系，都要通过教具或实物演示以及学具操作实践，引导学生认真观察、分析，在理解的基础上进行抽象概括，达到内化，掌握其结构特点。例如：小明家有６只黑兔、５只白兔，一共有多少只兔？可先让学生摆小棒：第一次摆６根，第二次摆５根。思考“６和５组成几？怎样计算？”然后出示反映题意的示意图，引导学生从已有的数的组成迁移到用加法解答。从而使他们明白，应用题是由两个条件和一个问题组成的。这样新的知识就不难纳入原有的认知结构。

此外，对于逆叙结构形式的简单应用题，要引导学生加强训练，进行对比分析，防止知识结构产生泛化的现象。

２、按照认识规律教学，构建良好的认知结构。学生解答应用题的过程是一 个完整地认识客观事物的过程。应用题的教学要从学生心理发展整体原则出发，遵循认知规律形成思维的模式，即感知表象－－抽象概括－－实践应用。在获取知识的过程中形成和发展相应的认知结构。

首先，要重视感知过程，建立正确的认识。全面领会应用题的内容，识别题目的结构特征，是确定解题方案的基矗所以解题时必须要求学生认真审题，通过视觉观察教师的直观演示，或通过听觉感受到老师、同学的读题，感知题目叙述的事物情景及数量关系，从而对题目的整体结构有一个初步的认识，在头脑中形成课题表象。对于情节比较生疏、数量关系比较复杂的题目，应通过演示、画图、描述等方法，让学生反复地感知，准确地理解题意，识别其结构特征，形成清晰的表象。这一过程称为罕间感知过程，它调节整个解题的心理活动，为课题本身的内化创造条件。

其次，要注意分析过程，促进认知结构重新建构的平衡。在审题的基础上进一步分析题目中提供的数量关系，进行课题内化，确定解题方案，这是解应用题的核心部分。教学中，教师要逐步让学生掌握分析、综合、比较、抽象、概括等基本思维过程，对审题时输入头脑中的表象进行分析，抽取有效条件，排除无关因素，并与原有认知结构联结，进行转换组合，达到顺应。例如，统编教材第１１册５８页例５：一项工程，由甲工程队修建，需要２０天，由乙工程队修建，需要３０天。两队合修需多少天？先让学生感知题目，明确这是一道分数工程问题，它的工作量为“１”，工作效率甲为工作效率甲为１／２０，乙为１／３０，再抓住这些本质特征，与头脑中储存的有关整数工程问题的数量关系联系起来，学生就不难找到解决问题的方案。这一过程就是课题本身内化的过程，较好地实现了认知结构重新建构的平衡。

此外，要按认识规律组织教材，保证认知结构向正迁移发展。有些应用题由于情节变化，条件隐蔽，容易引起混淆，产生泛化，影响学生新的认知结构的形成教学中，一方面要加强对比分析，另方面要按学生认识水平组织教材。例如，某校二甲班有女生３５人，比男生多１３人。男生女生共有多少人？这是一道基本复合应用题，但由于只有两个条件（其中男生人数是隐蔽的），容易被学生误认为一步计算的简单应用题，同时逆叙结构形式也增加了解题的难度，所以学生解答时往往出错。教师可从学生原有认知结构出发，将上题分解为连续两问的简单应用题，即“某校二甲班有女生３５人，比男生多１３人。男生有多少人？男女生共有多少人？”当学生解答后，去掉第一个问题，便成了原题。这样便于学生掌握结构的本质特征。

３、加强基本结构训练。基本结构训练是学生理解和掌握应用题结构特征的重要途径。教师应从简单应用题的教学开始，结合教材内容有机地进行结构的扩展、改编、压缩等训练。具体来说有以下几个方面：（１）补：补充问题或其中一个条件，使之成为一道完整的应用题。

（２）扩：将“复盖性主题”的简单应用题进行数量关系的一次或多次扩展，使之成为两步或多步解答的复合应用题。

（３）缩：将复合应用题中间接表达的已知数量直接化，压缩成“复盖性三 题”的简单应用题。

（４）拼：从许多的条件和问题中选择对应的条件和问题组成一道简单或复合应用题。

（５）拆：将一道复合应用题分解成为两道或几道简单应用题。

（６）变：改变条件或问题、或条件与问题置换，使其数量关系发生变化而成为另一道结构有同的应用题。

通过上述结构变化的各种训练，让学生从有同角度根据新旧知识结构的矛盾，有断调整改组原有的认知结构，理解和掌握各种应用题的本质特征及其变化规律，既突出了知识之间的内在联系，又为实现知识一正迁移、达到内化平衡创造了条件。