由“人离开水”到“水离开人”

我们都知道司马光砸缸救人的故事。当时，按照常规救人的方法是“人离开水”，但由于缸高、人矮、力 气小，在场的小朋友没有一个人能使“人离开水”。司马光拿起石头，把缸砸破，水流光了，儿童自然也就得 救了。司马光把救人的一般方法“人离开水”变为“水离开人”，实质上就是逆向思维。

在小学数学中，许多问题都采用的是正面解题思路，即从条件入手，求得结论。但是有时候从正面解题比 较困难，此时不妨另辟蹊径，展开逆向思维，从结论入手，逐步逆推，往往可以打破僵局，化难为易，起到事 半功倍的效果。
例1妈妈买来一篮桔子，小明第一天吃了这篮桔子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃 了剩下的一半多1个，第四天小明吃掉了剩下的最后一个桔子。妈妈买来的这篮桔子共有多少个？
分析 由条件直接解题有困难，现在由最后结果逆推之，问题就可迎刃而解。
第四天吃过后剩下0个。
第三天吃过后剩下1个。
第二天吃过后剩下（1＋1）×2＝4（个）；
第一天吃过后剩下（4＋1）×2＝10（个）；
故妈妈共买来桔子
（10＋1）×2＝22（个）。
综合算式为：
｛〔（1＋1）×2＋1〕×2＋1｝×2＝22（个）
例2如图，阴影部分的面积是正方形面积的几分之几？ （阴影三角形的两顶点分别为正方形边上的中点）
附图{图}
分析 显然，只要知道正方形的面积和阴影部分的面积，问题即可解决。但阴影部分的面积不易直接求出 ，而计算空白部分的面积则较容易，只要求出空白部分的面积，就可求出阴影部分的面积。
1
设正方形的面积为1，则两个空白大三角形的面积是─， 空白小三
2
1 1 1 3
角形的面积是─，故阴影部分的面积应是（1－─－─）＝─， 故
8 2 8 8
3
阴影部分面积应是正方形面积的─。
8
1 1 1 1
例3 计算：───＋───＋───＋…＋──────
1×2 2×3 3×4 1997×1998
分析 异分母分数相加减的一般思路是先通分后计算，然而本题通分是相当繁琐的。无法通分则可以逆向 思考，把每个分数拆开，拆成两个分数之差，计算起来就十分简单了。
1 1 1 1 1 1 1
原式＝（1 －─）＋（─－─）＋（─－─）＋…（──－──）
2 2 3 3 4 1997 1998
1 1997
＝1－───＝───
1998 1998
从以上几例可以看出，当利用常规解法遇到困难时，运用逆向思维，往往会“柳暗花明”，迅速找到解决 问题的方法。